Գայանե Ղարախանյան: Եռանկյուններ

Եռանկյունը այնպիսի պատկեր է, որը կազմված է միևնույն ուղղի վրա չգտնվող երեք կետերից, և այդ կետերը զույգ առ զույգ միացնող երեք հատվածներից։ Կետերը կոչվում են եռանկյան գագաթներ, իսկ հատվածները՝ նրա կողմեր։ A, B, և C գագաթներով եռանկյունը հաճախ նշանակում են ΔABC։

Եռանկյան երեք կողմերի երկարությունների գումարը կոչվում է եռանկյան

պարագիծ:

Եռանկյան մակերեսը հավասար է նրա հիմքի և բարձրության արտադրյալի կեսին:

Եռանկյան անկյունների գումարը 180° է:

Եռանկյան որևէ անկյանը կից անկյունը կոչվում է արտաքին անկյուն:

Արտաքին անկյունը հավասար է իրեն ոչ կից երկու անկյունների գումարին:

Եռանկյան ավելի մեծ կողմի դիմաց գտնվում է ավելի մեծ անկյուն և հակառակը, ավելի մեծ անկյան դիմաց գտնվում է ավելի մեծ կողմ:

Եռանկյան յուրաքանչյուր կողմը փոքր է մյուս երկու կողմերի գումարից:

Եռանկյան տեսակները

Կախված կողմերի երկարությունների փոխհարաբերությունից և անկյունների մեծությունից, եռանկյունները լինում են ուղղանկյուն (անկյուններից մեկն ուղիղ է), բութանկյուն (անկյուններից մեկը բութ է), սուրանկյուն (բոլոր երեք անկյունները սուր են), հավասարակողմ կամ կանոնավոր (բոլոր երեք կողմերն իրար հավասար են) և հավասարասրուն (հավասար են գոնե երկու կողմերը)։

Ուղղանկյուն եռանկյուն

Եռանկյունը, որի անկյուններից մեկն ուղիղ է կոչվում է ուղղանկյուն եռանկյուն:

Ուղիղ անկյան դիմացի կողմը կոչվում է ներքնաձիգ, մյուս կողմերը` էջեր:

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների գումարը 90° է:

Ուղղանկյուն եռանկյան 30°-ի անկյան դիմացի էջը հավասար է ներքնաձիգի

կեսին:

Եթե ուղղանկյուն եռանկյան էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսին, ապա այդ էջի

դիմացի անկյունը հավասար է 30°-ի

Ներքնաձիգին տարված միջնագիծը

Ուղղանկյուն եռանկյան ուղիղ անկյան գագաթից տարված միջնագիծը հավասար է

ներքնաձիգի կեսին:

Եթե եռանկյան կողմին տարված միջնագիծը հավասար է այդ կողմի կեսին, ապա

այդ կողմի դիմացի անկյունը 90° է:

Հավասարության հայտանիշները

1. Եթե մի ուղղանկյուն եռանկյան էջերը համապատասխանաբար հավասար են

մյուսի էջերին, ապա այդ եռանկյունները հավասար են:

2. Եթե մի ուղղանկյուն եռանկյան էջը և նրան առընթեր սուր անկյունը համապա-

տասխանաբար հավասար են մյուսի էջին և նրան առընթեր սուր անկյանը, ապա

այդ եռանկյունները հավասար են:

3. Եթե մի ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգը և նրան առընթեր սուր անկյունը

համապատասխանաբար հավասար են մյուսի ներքնաձիգին և նրան առընթեր

սուր անկյանը, ապա այդ եռանկյունները հավասար են:

4. Եթե մի ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգը և էջը համապատասխանաբար

հավասար են մյուսի ներքնաձիգին և էջին, ապա այդ եռանկյունները հավասար են:

Մակերեսը

Ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը հավասար է նրա էջերի արտադրյալի կեսին.

Ուղղակյուն եռանկյան ուղիղ անկյան գագաթից տարված բարձրությունը

եռանկյունը բաժանում է երկու եռանկյունների, որոնցից յուրաքանչյուրը նման է

տրված եռանկյանը:

Սուր անկյան սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան սինուս է կոչվում հանդիպակաց էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին՝

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան կոսինուս է կոչվում կից էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին՝

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան տանգենս է կոչվում հանդիպակաց էջի հարաբերությունը կից էջին՝

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան կոտանգենս է կոչվում կից էջի հարաբերությունը հանդիպակաց էջին՝

Հավասարասրուն եռանկյուն

Եռանկյունը կոչվում է հավասարասրուն, եթե նրա երկու կողմերը հավասար են:

Հավասար կողմերը կոչվում են սրունքներ, երրորդ կողմը` հիմք:

Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին առընթեր անկյունները հավասար են:

Եթե հավասարասրուն եռանկյան անկյուններից որևէ մեկը 60° է, ապա այդ եռանկյունը

հավասարակողմ եռանկյուն է:

Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված բարձրությունը, կիսորդն ու միջնագիծը համընկնում են:

Եթե եռանկյան երկու անկյունները հավասար են, ապա եռանկյունը հավասարասրուն է:

Հավասարակողմ եռանկյուն

Եռանկյունը, որի բոլոր կողմերը հավասար են կոչվում է հավասարակողմ կամ

կանոնավոր եռանկյուն:

Հավասարակողմ եռանկյան անկյունները 60° են:

Հավասարակողմ եռանկյան նույն կողմին տարված միջնագիծը, կիսորդն ու

բարձրությունը համընկնում են:

Հավասարակողմ եռանկյան մակերեսը կարելի է հաշվել

Սուրանկյուն եռանկյուն

Եռանկյունը, որի բոլոր անկյունները սուր են, կոչվում է սուրանկյուն եռանկյուն:

Եթե եռանկյան ամենամեծ կողմի քառակուսին փոքր է մյուս կողմերի քառա-

կուսիների գումարից, ապա այն սուրանկյուն եռանկյուն է:

Բութանկյուն եռանկյուն

Եռանկյունը, որի անկյուններից մեկը բութ է կոչվում է բութանկյուն եռանկյուն:

Եթե եռանկյան ամենամեծ կողմի քառակուսին մեծ է մյուս կողմերի

քառակուսիների գումարից, ապա այն բութանկյուն եռանկյուն է:

Նման եռանկյուններ

Այն եռանկյունները, որոնց անկյունները համապատասխանաբար հավասար են,

իսկ կողմերը` համեմատական, կոչվում են նման եռանկյուններ:

Եթե մի եռանկյան երկու անկյունները համապատասխանաբար հավասար են

մյուսի երկու անկյուններին, ապա այդպիսի եռանկյունները նման են:

Եթե մի եռանկյան երկու կողմերը համեմատական են մյուսի երկու կողմերին, և

այդ կողմերով կազմված անկյունները հավասար են, ապա այդպիսի եռանկյուն-

ները նման են:

Եթե մի եռանկյան երեք կողմերը համեմատական են մյուսի երեք կողմերին, ապա

այդպիսի եռանկյունները նման են:

Կիսորդ

Եռանկյան գագաթից տարված կիսորդ է կոչվում եռանկյան անկյան կիսորդի այն հատվածը, որի միացնում է այդ գագաթը և նրա դիմացի կողմի վրա գտնվող կետը։

Եռանկյան կիսորդը հանդիպակաց կողմը բաժանում է երկու մասերի նույն հարաբերությամբ, ինչ որ անկյանը կից կողմերի հարաբերությունն է։

Եռանկյան ներքին անկյունների կիսորդնեը հատվում են մեկ կետում, որը համընկնում է այդ եռանկյանը ներգծած շրջանագծի կենտրոնի հետ։

Եթե եռանկյան երկու կիսորդները հավասար են մեկը մյուսին, ապա այդ եռանկյունը հավասրասրուն է:

Եռանկյան բարձրություն

Եռանկյան գագաթից հանդիպակաց կողմն ընդգրկող ուղղին տարված ուղղա-

հայացը կոչվում է եռանկյան բարձրություն:

Եռանկյան միջինագիծ

Եռանկյան գագաթը հանդիպաց կողմի միջնակետին միացնող հատվածը կոչվում

է եռանկյան միջնագիծ:

Եռանկյան միջնագծերը հատվում են մի կետում, որը յուրաքանչյուր միջնագիծը բաժանում է 2:1 հարաբերությամբ, հաշված գագաթից:

Եռանկյունն իր միջնագծով բաժանվում է երկու հավասարամեծ եռանկյունների:

Եռանկյան միջին գիծ

Եռանկյան միջին գիծ է կոչվում նրա երկու կողմերի միջնակետերը միացնող

հատվածը:

Եռանկյան միջին գիծը զուգահեռ է նրա կողմերից մեկին և հավասար է այդ կողմի

կեսին:

Թեորեմներ

Պյութագորասի թեորեմ։ Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգի քառակուսին հավասար է էջերի քառակուսիների գումարին՝

$a^2 + b^2 = c^2\,$ ։

(Պյութագորասի հակադարձ թեորեմ) Եթե եռանկյան մի կողմի քառակուսին հավասար է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարին, ապա այդ եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է:

Կոսինուսների թեորեմ։ Եռանկյան ցանկացած կողմի քառակուսին հավասար է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարին՝ հանած այդ կողմերի և նրանցով կազմված անկյան կոսինուսի կրկնապատիկ արտադրյալը՝

c² = a² + b² – 2ab cos γ։

Այն հանդիսանում է Պյութագորասի թեորեմի ընդհանրացված տարբերակը։