Ֆունկցիաներ

X թվային բազմությունում որոշված է f թվային ֆունկցիա, եթե այն X բազմության ամեն մի x թվի համապատասխանում է որևէ y թիվ` y = f (x):
Ֆունկցիայի` y = f (x) գրելաձևում x-ը և y-ը փոփոխականներ են, իսկ f տառը խորհրդանշւոմ է այն կանոնը, որով x փոփոխականի յուրաքանչյուր արժեքին համապատասխանում է y փոփոխականի որոշակի արժեք:  x փոփոխականն անվանում են անկախ փոփոխական, իսկ y-ը` կախյալ փոփոխական: x փոփոխականն անվանում են նաև արգումենտ:
X բազմությունն անվանում են f ֆունկցիայի որոշման տիրույթ և նշանակում` D (f):

Թվային ֆունկցիա

Այն բազմությունը, որը ֆունկցիան կարող է ընդունել կոչվում է ֆունկցիայի արժեքների բազմություն կամ արժեքների տիրույթ և նշանակում E(f):

f(x) = b, x  X, ֆունկցիան իր որոշման տիրույթի կամայական կետում ընդունում է միևնույն՝ b արժեքը: Այսպիսի ֆունկցիան կոչվում է հաստատուն ֆունկցիա:

Ֆունկցիայի գրաֆիկ

f ֆունկցիայի գրաֆիկ անվանում են կոորդինատային հարթության այն (x; y) կետերի բազմությունը, որոնց համար y = f(x):

Որպեսզի կոորդինատային հարթության վրա գտնվող գիծը լինի որևէ ֆունկցիայի գրաֆիկ, անհրաժեշտ է, որ օրդինատների առանցքին զուգահեռ կամային ուղիղ կամ չհատվի այդ գծի հետ, կամ հատվի միայն  մի կետում: 

Եթե ֆունկցիայի գրաֆիկն առաջին և երկրորդ քառորդներում է, ապա ֆունկցիան միայն դրական արժեքներ է  ընդունում: Եթե ֆունկցիայի գրաֆիկն առաջին և չորրորդ քառորդներում է, ապա ֆունկցիան բացասական x-երի համար որոշված չէ:

Ֆունկցիայի գրաֆիկի և աբսցիասների առանցքի հատման կետերը ցույց են տալիս, թե որ կետում է ֆունկցիան ընդունում 0 արժեքը, իսկ օրդինատների առանցքի հետ հատման կետը որոշվում է ֆունկցիայի՝ զրո կետում ընդունված արժեքով:

Գործողություններ ֆունկցիաների հետ

Տրված են f և g ֆունկցիաները: Դիտարկենք մի նոր՝ F ֆունկցիա, որի արժեքն x կետում հավասար է այդ կետում f և g ֆունկցիաների արժեքների  գումարին՝

F(x) = f(x) + g(x)

F ֆունկցիան որոշված է այն x կետում, որտեղ որոշված են և´ f, և´ g ֆունկցիաները՝

D(F) = D(f)  D(g): Այս կերպ սահմանված F ֆունկցիան անվանում են f և g ֆունկցիաների գումար՝ F = f + g: Նույն ձևովէլսահմանում ենք ֆունկցիաների տարբերությունը և արտադրյալը:

Այն F ֆունկցիան, որի արժեքն x կետում հավասար է այդ կետում f և g ֆունկցիաների արժեքների տարաբերությանըկոչվում է այդ ֆունկցիաների քանորդ:

Սահմանափակություն, մեծագույն և փոքրագույնարժեքներ

f ֆունկցիան անվանում են սահմանափակ, եթե այն սահմանափակ է և´ վերևից, և´ ներքևից:

Եթե ֆունկցիայի արժեքների բազմությունում կա մեծագույն(փոքրագույն) թիվ, ապա այդ թիվն անվանում են ֆունկցիայի մեծագույն(փոքրագույն)արժեք:

Զույգ և կենտ ֆունկցիաներ

sin(-x) = - sin x

tg (-x) = - tg x

ctg (-x) = - ctg x

cos (-x) = - cos x

Այս նույնություններից հետևում է, որ սինուսը, տանգեսը, կոտանգեսը կենտ ֆունկցիաներ են, իսկ կոսինուսը զույգ ֆունկցիա է:

Զույգ ֆունկցիայի գրաֆիկը համաչափ է օրդինատների առանցքի նկատմամբ:

Կենտ ֆունկցիայի գրաֆիկը համաչափ է սկզբնակետի նկատմամբ:

Եթե դիտարկցած ֆունկցիների որոշման տիրույթները դատարկ չեն, ապա՝

ա)զույգ ֆունկցիաների գումարը, արտադրյալը, քանորդը զույգ ֆունկցիանեեր են

բ)երկու կենտ ֆունկցիաների գումարը կենտ, իսկ արտադրյալն ու քանորդը զույգ ֆունկցիաներ են

Ֆունկցիայի մոնոտոնության միջակայքերը և էքատրեմումները

Աճող և նվազող ֆունկցիաներն ունեն ընդհանուր անվանում՝ մոնոտոն ֆունկցիաներ:

Δ միջակայքն անվանում են f ֆունկցիայի մոնոտոնության միջակայք, եթե f ֆունկցիան այդ միջակայքի վրա մոնոտոն է, այսինքն՝կա´մ աճող է, կա´մ նվազող:

Ֆունկցիայի մաքսիմումի և մինիմումի կետերն ունեն ընդհանուր անվանում՝ էքստրեմումի կետեր: Իսկ ֆունկցիայի մաքսիմումները և մինիմումները կոչվում են ֆունկցիայի էքստրեմումներ:

Ֆունկցիայի հետազոտման ուրվագիծը և գրաֆիկի կառուցումը

f ֆունկցիայի զրոներ կոչվում են f (x) = 0 հավասարման լուծումները:

X միջակայքն անվանում են ֆունկցիաայի նշանապահպանման միջակայք, եթե այդ միջակայքում ֆունկցիան ընդունում է նույն նշանի արժեքներ:

Ֆունկցիաների հետազոտման գրաֆիկը որպես կանոն բաղկացած է հետևյալ քայլերից.

1.      Գտնել ֆունկցիայի որոշման տիրույթը և արժեքների բազմությունը

2.      Պարզել՝ ֆունկցիան պարբերական է, թե՝ ոչ

3.      Պարզել ֆունկցիայի զույգությունը

4.      Որոշել ֆունկցիայի գրաֆիկի և կորդինատային առանցքների հատման կետերը

5.      Գտնել ֆունկցիայի նշանապահման միջակայքերը

6.      Գտնել ֆունկցիայի մոնոտոնության միջակայքերը

7.      Գտնել ֆունկցիայի էքստրիմումի կետերը և էքստրեմումները

8.      Եթե ֆունկցիայի որոշման տիրույթը բաղկացած է մեկ կամ մի քանի միջակայքերից, պարզել ֆունկցիայի վարքն այդ միջակայքերի ծայրակետերին մոտենալիս

Հակադարձ ֆունկցիան և դրա գրաֆիկը

Եթե f ֆունկցիան D բազմության տարբեր կետերում ընդունում է տարբեր արժեքներ, ապա f(x₀) = y₀ հավասարման բավարարող x₀ կետը կլինի միակը: Այս դեպքում կասենք, որ f ֆունկցիան փոխմիարժեք է  D բազմությունում:

Եթե f–ը փոխմիարժեք է, ապա E բազմության յուրաքանչյուր y₀ կետի f(x₀) = y₀ բանաձևով կհամապատասխանի որոշակի x₀ թիվ D–ից, և կունենանք

Եթե ֆունկցիան ունի հակադարձ, այն անվանում են հակադարձելի:

Աստիճանային ֆունկցիա

Աստիճանային ֆունկցիա կոչվում է f (x) = x^a բանաձով տրված ֆունկցիան, որտեղ a–ն զրոյից տարբեր թիվ է:

Բնական ցուցիչով աստիճանային ֆունկցիա

Նախ ուսումնասիրենք f (x) = xⁿ աստիճանային ֆունկցիան, այն դեպքում, երբ n–ը կենտ է:

Այժմ քննարկենք այն դեպքը, երբ f (x) = xⁿ բանաձի մեջ  n–ը զույգ է:

 Ցուցչային ֆունկցիա

Ցուցչային ֆունկցիա կոչվում է f (x) = a^x ֆունկցիան, որտեղ a-ն 1-ից տարբեր դրական թիվ է:

Ցուցչային ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները.

Լոգարիթմական ֆունկցիա

Լոգարիթմական ֆունկցիա կոչվում է f (x) = log _a x բանաձևով տրված ֆունկցիան, որտեղ a–ն 1-ից տարբեր դրական թիվ է:

Լոգարիթմական ֆունկցիաների հիմնական հատկությունները.

1.      Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը դրական կիսառանցքն է՝

1.      Ֆունկիայի արժեքների բազմությունն ամբողջ թվային առանցքն է՝ 

1.      Ֆունկցիան մոնոտոն է իր որոշման տիրույթում: Այն աճող է, եթե a > 1 և նվազող` եթե 0< a < 1

2.      Ֆունկցիան 0 արժեքն ընդունում է x = 1 կետում

 ա) a > 1 դեպքում ֆունկցիան բացասական է (0, 1) և դրական` 

միջակայքում

  բ) 0< a < 1 դեպքում ֆունկցիան դրական է (0, 1) և բացասական`

 միջակայքում:

Միևնույն հիմքով լոգարիթմական և ցուցչային ֆունկցիաները փոխհակադարձ ֆունկցիաներ են: Նրանց գրաֆիկները համաչափ են y = x ուղղի նկատմամբ:

Օրինակներ

Օգտագործված աղբյուրներ

Հանրահաշիվի դասագիրք 10,11 դասարաններ

Շտեմարան